Question

8．如图，在直角坐标系中，抛物线y=x²+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴于点C，顶点为M，已知A（-1，0）．
（1）求顶点M的坐标（1，-4）．
（2）求A、B两点两点间的距离；
（3）抛物线上是否存在有一动点D，使S_△ABD=S_△ABC，若存在，求出点D的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）代入y=x²+bx-3，得b=-2，利用配方法或公式法即可求出顶点坐标．
（2）对于抛物线y=x²-2x-3，令y=0，得到x²-2x-3=0，解得x=-1或3，可得A（-1，0），B（3，0），由此即可解决问题．
（3）存在．如图，设D（m，n），由S_△ABD=S_△ABC，得$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{1}{2}$×4×|n|，推出n=±3，再利用待定系数法即可解决问题．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=x²+bx-3，得0=1-b-3，
∴b=-2，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点M坐标（1，-4），
故答案为（1，-4）．

（2）对于抛物线y=x²-2x-3，令y=0，得到x²-2x-3=0，解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴AB=OA+OB=4．

（3）存在．理由：如图，设D（m，n）．

∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴AB=4，OC=3，
∵S_△ABD=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{1}{2}$×4×|n|，
∴|n|=3，
∴n=±3，
当n=3时，m²-2m-3=3，解得m=1±$\sqrt{7}$，
∴D₂（1-$\sqrt{7}$，3），D₃（1+$\sqrt{7}$，3），
当n=-3时，n²-2n-3=-3，解得m=0或2，
∴D₁（2，-3），
综上所述，满足条件的点D坐标为（1-$\sqrt{7}$，3）或（1+$\sqrt{7}$，3）或（2，-3）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用配方法或公式法求顶点坐标，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．