Question

如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O交CA于点E，点G是AD的中点．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若AC⊥BC，且AC=8，BC=6，求切线GE的长．

Answer 1

解：（1）证明：连接OE，OG；
∵AG=GD，CO=OD，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG∥AC．
∴∠OEC=∠GOE，∠ACD=∠GOD．
∵OE=OC，
∴∠ACD=∠OEC．
∴∠GOD=∠GOE．
∵OE=OD，OG=OG，
∴△OEG≌△ODG．
∴∠OEG=∠ODG=90°．
∴GE是⊙O的切线．

（2）∵AC=8，BC=6，
∴AB==10．
∴OD⊥GD．
∴GD也是圆O的切线．
∴GD=GE．
设BD=x，则AD=10-x，
在Rt△CDA和Rt△CDB中，
由勾股定理得：CD²=8²-（10-x）²，CD²=6²-x²
∴8²-（10-x）²=6²-x²
解得，
∴AD=10-=．
∴GE=GD=AD=．
即切线GE的长为．
分析：（1）作出半径并说明半径与GE垂直，所以需要再连接OG，只要证明△OEG≌△ODG就可以了；
（2）根据上一问的结论，求出AD的长度也可以，而AD的长可以利用勾股定理在Rt△ADC和Rt△BCD中CD为公共边，列出方程求解．
点评：作出半径构造出直角三角形是解答本题的关键；同时切线的判定和相似三角形的判定也是所要考查的内容．