Question

如图1，抛物线y=x²+x-4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C．
（1）求点A的坐标；
（2）当b=0时（如图2），求△ABE与△ACE的面积．
（3）当b＞-4时，△ABE与△ACE的面积大小关系如何？为什么？
（4）是否存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）将x=0，代入抛物线的解析式即可；
（2）当b=0时，直线为y=x，解由y=x和y=x²+x-4组成的方程组即可求出B、C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出面积；
（3）当b＞-4时，△ABE与△ACE的面积相等，理由是解由直线和抛物线组成的方程组，即可求出交点的坐标，作BF⊥y轴，CG⊥y轴，垂足分别为F、G，根据点的坐标得到△ABE和△ACE是同底的两个三角形，即可得出答案；
（4）存在这样的b，根据全等三角形的判定证△BEF≌△CEG，推出BE=CE，根据直角三角形的性质，当OE=CE时，△OBC为直角三角形，代入即可求出b的值．

解答：解：（1）将x=0，代入抛物线的解析式得：y=-4，
得点A的坐标为（0，-4），
答：点A的坐标为（0，-4）．

（2）当b=0时，直线为y=x，
由

y=x y=x2+x-4

，
解得

x1=2 y1=2

，

x2=-2 y2=-2

，
∴B、C的坐标分别为B（-2，-2），C（2，2），
S△ABE=

1

2

×4×2=4，S△ACE=

1

2

×4×2=4，
答：△ABE的面积是4，△ACE的面积是4．

（3）当b＞-4时，S_△ABE=S_△ACE，
理由是：由

y=x+b y=x2+x-4

，
解得

x1= b+4 y1= b+4 +b

，

x2=- b+4 y2=- b+4 +b

，
∴B、C的坐标分别为：
B（-

b+4

，-

b+4

+b），C（

b+4

，

b+4

+b），
作BF⊥y轴，CG⊥y轴，垂足分别为F、G，
则BF=CG=

b+4

，
而△ABE和△ACE是同底的两个三角形，
∴S_△ABE=S_△ACE．
答：当b＞-4时，△ABE与△ACE的面积大小关系是相等．

（4）存在这样的b，
∵BF=CG，∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE=90°，
∴△BEF≌△CEG，
∴BE=CE，
即E为BC的中点，
所以当OE=CE时，△OBC为直角三角形，
∵B（-

b+4

，-

b+4

+b），E（0，b），
∴GE=EF=|-（

b+4

+b）+b|=

b+4

=CG
GE=GC=

b+4

，
∴CE=

2

•

b+4

，而OE=|b|，
∴

2

•

b+4

=|b|，
解得b₁=4，b₂=-2，
∴当b=4或-2时，△OBC为直角三角形，
答：存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形，b的值是4或-2．

点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，综合性强．