Question

已知二次函数y=ax²+2x+c，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x	…	-2	-1	0	1	2	…
y	…	-5	0	3	4	3	…

（1）求这个二次函数的关系式；
（2）请判断函数有最大值还是最小值，并写出此时x的值与y的值；
（3）若y≥0，则x的取值范围是______．
（4）若A（n，y₁）、B（n+1，y₂）两点均在该函数的图象上，试比较y₁与y₂的大小．

Answer 1

解：（1）由图表可知抛物线y=ax²+2x+c过点（0，3），（1，4），代入解析式求出即可：
，
解得：，
∴二次函数的关系式为：y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3；
=-（x-1）²-4，
∴此函数有最大值，x=1时，y有最大值4；

（3）由表格中的值可以判断当y=0或y＞0时，x的值在-1和3之间；
∴y≥0，则x的取值范围是：-1≤x≤3；

（4）分别把A（n，y₁），B（n+1，y₂）两点代入y=-x²+2x+3，
得到y₂-y₁=（-n²+4n+4）-（-n²+2n+3）=-2n+1，
当-2n+1＜0；-2n+1=0；-2n+1＜0时，
当n＞时，y₁＞y₂；
当n=，y₁=y₂；
当n＜时，y₁＜y₂．
分析：（1）当x=0或2时，y均等于3，那么此二次函数的对称轴是1，则顶点坐标为（1，4），设出顶点式，把表格中除顶点外的一点的坐标代入可得a的值，也就求得了二次函数的值；
（2）根据二次项系数可得函数有最大值，此时的x，y为顶点坐标中相应的值；
（3）由表格中的值可以判断当y=0或y＞0时x的值在-1和3之间；
（4）分别把A（n，y₁），B（n+1，y₂）两点代入y=-x²+2x+3，得到y₂-y₁=（-n²+4n+4）-（-n²+2n+3）=-2n+1，然后讨论：当-2n+1＜0；-2n+1=0；-2n+1＜0即可．
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点求法以及函数比较大小，利用交点的横坐标是二次函数的函数值为0时所对应的自变量和比较二次函数大小问题是考查重点．