Question

8．如图，在边长为5的菱形ABCD中，cos∠BAD=$\frac{3}{5}$，点E是射线AB上的一点，作EF⊥AB，交AC于点F
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：过点F，E，E、B作⊙O．连接DF．若⊙O与△CDF的边所在直线相切．求所有满条件的AE的长度．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，由∠AHD=90°，AD=5，cos∠DAH=$\frac{3}{5}$，推出AH=3，DH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，即可解决问题；
（2）分三种情形分别求解：①如图2中，当⊙O与直线DF相切时．②如图3中，当⊙O与AC相切时．③如图4中，当⊙O与CD相切于点M．分别求解即可．

解答 解：（1）如图1中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=5，cos∠DAH=$\frac{3}{5}$，
∴AH=3，DH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴S_菱形ABCD=AB•DH=5×4=20．
（2）①如图2中，当⊙O与直线DF相切时，易知，∠BFD=90°，DF=BF．

∵BD=2$\sqrt{5}$，
∴BF=$\sqrt{10}$．
设EF=x，则AE=2EF=2x，
在Rt△BEF中，∵BF²=EF²+BE²，
∴10=x²+（5-2x）²，
解得x=1或3，
∴AE=2或6时，⊙O与直线DF相切．
②如图3中，当⊙O与AC相切时，易知点F与G重合，设EF=x，AE=2x，

在Rt△AFE中，∵AG²=AE²+GE²，
∴20=4x²+x²，
∴x²=4，
∴x=2，
∴AE=4时，⊙O与直线CF相切．
③如图4中，当⊙O与CD相切于点M，延长MO交AE与H，设EF=x，则AE=2x，则OH=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$x，BF=$\sqrt{{x}^{2}+（2x-5）^{2}}$，

∵HM=4，
∴OM+OH=4，
∴$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+（2x-5）^{2}}$+$\frac{1}{2}$x=4，
整理得，4x²-4x-39=0，
解得x=$\frac{1+2\sqrt{10}}{2}$或x=$\frac{1-2\sqrt{10}}{2}$（舍弃），
∴AE=1+2$\sqrt{10}$，
综上所述，满足条件的AE的值为2或4或6或1+2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查圆综合题、菱形的性质、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题．