Question

3．已知：如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，AC=6cm，BC=8cm．
（1）求⊙O的半径．
（2）请用尺规作图作出点P，使得点P在优弧CAB上时，△PBC的面积最大，请保留作图痕迹，并求出△PBC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理得到∠C=90°，则利用勾股定理可计算出AB=10，从而得到⊙O的半径；
（2）作BC的垂直平分线交优弧CAB于P，交BC于D，利用垂径定理得到BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，则利用勾股定理可计算出OD=3，然后利用三角形面积公式计算此时△PBC的面积．

解答 解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴⊙O的半径为5cm；

（2）如图，作BC的垂直平分线交优弧CAB于P，交BC于D，
则BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△OBD中，∵OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=3，
∴PD=3+5=8，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PD•BC=$\frac{1}{2}$×8×8=32．

点评 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了圆周角定理和垂径定理．