Question

13．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，E是BC边上的一点，连接AE，将△ACE沿AE折叠，使C点落在AB边上的D处，连接CD，若S_△BCD=4，则AE的长为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 8$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 连接DE，过D作DH⊥BC于H，有折叠的性质得到AD=AC，CE=DE，根据等腰直角三角形的性质证得∠B=45°，于是得到△BDE是等腰直角三角形，得到DH=$\frac{1}{2}$BE，设DH=x，则BE=2x，CE=DE=BD=$\sqrt{2}$x，由S_△BCD=4求得x，即可求得CE，AC，根据勾股定理即可求得结论．

解答 解：连接DE，过D作DH⊥BC于H．
∵将△ACE沿AE折叠，使C点落在AB边上的D处，
∴AD=AC，CE=DE，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DH=$\frac{1}{2}$BE，
设DH=x，
∴BE=2x，CE=DE=BD=$\sqrt{2}$x，
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•DH=$\frac{1}{2}×$（2$+\sqrt{2}$）x•x=4，∴x²=4×（2-$\sqrt{2}$）
∴x=2$\sqrt{2-\sqrt{2}}$，
AC=（2+$\sqrt{2}$）x，
∴AE²=AC²+CE²=（2+$\sqrt{2}$）²x²+2x²=（8+4$\sqrt{2}$）x²=4（2+$\sqrt{2}$）x²=4×（2+$\sqrt{2}$）×4×（2-$\sqrt{2}$）
=32，
∴AE=4$\sqrt{2}$，
故选C．

点评 本题主要考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形的面积公式，勾股定理，能够把CE，AC用DH=x的代数式表示出来是解决问题的关键．