Question

（1）求函数y=|x²-4|-3x在区间-2≤x≤5中的最大值和最小值．
（2）已知：|y|≤1，且2x+y=1，求2x²+16x+3y²的最小值．

Answer 1

分析：（1）①若x²-4≥0，②若x²-4≤0，分类讨论即可求解；
（2）y=1-2x代入2x²+16x+3y²，用配方法即可求解；

解答：解：（1）若x²-4≥0，即|x|≥2，则y=x²-3x-4∴y=(x-

3

2

)2-

25

4

，
若x²-4≤0，即|x|≤2，则y=-x²-3x+4∴y=-(x+

3

2

)2+

25

4

，
∴y=(x-

3

2

)2-

25

4

（2≤x≤5），
当x=5时，y_最大值=6；当x=2时，y_最小值=-6，
对y=-(x+

3

2

)2+

25

4

（-2≤x≤2），
当x=-

3

2

时，y最大值=

25

4

；x=2时，y_最小值=-6，
综上所述，x=2时，y_最小值=-6；当x=-

3

2

时，y最大值=

25

4

；

（2）由2x+y=1得x=

1-y

2

，y=1-2x，
由|y|≤1得-1≤x≤1故0≤x≤1，
∴z=2x2+16x+3y2=14x2+4x+3=14(x+

1

7

)2+

19

7

z为开口向上，对称轴为x=-

1

7

的抛物线，
虽然有最小值

19

7

，但x=-

1

7

不在0≤x≤1的范围内，因此不是所求的最值．
又x=0时，z=3；x=1时，z=21．
∴所求的最小值为3．

点评：本题考查了二次函数的最值，难度适中，关键是掌握用分类讨论的思想解题和用配方法求二次函数的最值．