Question

12．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°．
（1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度数；
（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当∠B=30°，∠C=60°，则∠EAD=15°；当∠B=50°，∠=60°时，则∠EAD=5°；当∠B=60°，∠C=60°时，则∠EAD=0°；当∠B=70°，∠C=60°时，则∠EAD=5°；
（3）若∠B和∠C的度数改为用字母α和β来表示，你能找到∠EAD与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ACD中，利用直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠CAD；根据三角形的内角和等于180°列式求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠CAE，然后列式计算即可求出∠DAE；
（2）（3）方法同（1）．

解答 解：（1）∵AD是高，∠C=60°，
∴∠CAD=90°-∠C=90°-60°=30°；
∵∠B=20°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-20°-60°=100°，
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×100°=50°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-30°=20°；
（2）∵∠B=30°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-60°=90°，
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=45°-30°=15°；
∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-60°=70°，
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×70°=35°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=35°-30°=5°；
∵∠B=60°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°，
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=30°-30°=0°；
∵∠B=70°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-60°=50°，
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×50°=25°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=30°-25°=5°；
故答案为：15，5，0，5；
（3）∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β，
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×（180°-α-β）=90°-$\frac{1}{2}$（α+β），
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）-（90°-β）=$\frac{1}{2}$|β-α|．

点评 本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟记三角形的内角和是解题的关键．