Question

3、如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD²=BD•CD；②BE²=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（　　）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

Answer 1

分析：对四个结论逐一进行论述，说明其对错即可．另外此题中没有给出比例线段，故只能通过两角对应相等，两三角形相似进行证明．

解答：解：①若△ABD∽△CAD，则一定有AD：BD=CD：AD，即AD²=BD•CD，而两三角形只有一对角对应相等，不会得到另外的对应角相等，故选项不正确；
②若△BEG∽△AEB，则一定有BE：EG=AE：BE，即BE²=EG•AE，而两三角形只有一对公共角相等，不会得到另外的对应角相等，故选项不正确；
③∵∠ABD=∠AEC，∠ADB=∠AEC=90°，∴△ABD∽△AEC，∴AE：AC=AB：AD，即AE•AD=AC•AB，故选项正确；
∵根据相交弦定理，可直接得出AG•EG=BG•CG，故选项正确．
故选B．

点评：本题利用了相似三角形的判定、直径所对的圆周角等于90°、同弧所对的圆周角相等等知识．