Question

12．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

Answer 1

分析 先根据勾股定理计算出AC=4cm，然后分类讨论：当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上得t=3（s），若点P在AB上，则t=5.4s；当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，如图，根据等腰三角形的性质得BD=CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，易得t=$\frac{13}{2}$（s）；当BP=BC=3时，△BCP为等腰三角形，则AP=AB-BP=2，易得t=6（s）．

解答 解：∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4cm，
当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，t=3（s）；
若点P在AB上，CP=CB=3，作CH⊥AB于H，如图，CH=$\frac{12}{5}$，在Rt△BCH中，BH=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}=\frac{9}{5}$，

则PB=2BH=$\frac{18}{5}$，
∴CA+AP=4+5-$\frac{18}{5}$=5.4，此时t=5.4s；
当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，如图，

则BD=CD，
∴PD为△ABC的中位线，
∴AP=BP，即AP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴t=4+$\frac{5}{2}$=$\frac{13}{2}$（s）；
当BP=BC时，△BCP为等腰三角形，即BP=BC=3，
∴AP=AB-BP=2，
∴t=4+2=6（s），
综上所述，t为3s或5s或6s或$\frac{13}{2}$s时，△BCP为等腰三角形．

点评 本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．也考查了勾股定理和分类讨论的思想．