Question

19．如图，在平面直角坐标系中，B（0，8），D（10，0），一次函数y=$\frac{4}{11}x+\frac{24}{11}$的图象过点C（16，n），与x轴交于点A．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）将△AOB绕点O按顺时针方向旋转得△A₁OB₁，问：能否使以O、A₁、D、B₁为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点A₁的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由一次函数解析式可求得A、C两点的坐标，则可求得BC、AD的长，可证得结论；
（2）分三种情况，以直角三角形A₁OB₁的面积求出斜边上的高，再利用勾股定理即可得出点A₁的坐标．

解答 解：（1）当x=16时，n=$\frac{4}{11}×16+\frac{24}{11}$=8，
∴C（16，8），
∵B（0，8），
∴BC=16，BC∥x轴，
当y=0时，0=$\frac{4}{11}x+\frac{24}{11}$，
∴x=-6，
∵D（10，0），
∴BC∥AD，AD=16，∴BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形；

（2）由（1）知，A（-6，0），B（0，8），
∴OA=6，OB=8，AB=10，
设斜边上的高为h，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$AB•h，
∴h=$\frac{24}{5}$，
由旋转知，OA₁=6，OB₁=8，A₁B₁=10，
当O、A₁、D、B₁为顶点的四边形是平行四边形，
①当OB₁为对角线时，如图1，A₁B₁∥OD，即A₁B₁⊥y轴于H，
∴OH=h=$\frac{24}{5}$，
在Rt△A₁OH中，A₁H=$\frac{18}{5}$，
∴₁（-$\frac{18}{5}$，$\frac{24}{5}$），
②当OD为对角线时，∠A₁OB₁=90°，
∴四边形A₁OB₁D是矩形，
∴∠OA₁D=90°，
如图2，过点A₁作A₁M⊥x轴于M，
同①的方法得出A₁M=$\frac{24}{5}$，OM=$\frac{18}{5}$，
∴A₁（$\frac{18}{5}$，$\frac{24}{5}$）
③当OA₁为对角线时，如图3，A₁B₁∥OD，
∴A₁B₁⊥y轴于N，
同①的方法，ON=$\frac{24}{5}$，B₁N=$\frac{18}{5}$，
∴A₁（$\frac{18}{5}$，-$\frac{24}{5}$），
即：点A₁的坐标为（-$\frac{18}{5}$，$\frac{24}{5}$），（$\frac{18}{5}$，$\frac{24}{5}$），（$\frac{18}{5}$，-$\frac{24}{5}$）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了旋转的旋转，三角形的面积公式，勾股定理，平行四边形的性质，解（1）的关键是求出点B，C坐标，解（2）的关键是得出A₁B₁⊥y轴和四边形A₁OB₁D是矩形，是一道中等难度的中考常考题．