Question

在矩形OABC中，OA=4，AB=2，以点O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立直角坐标系．将矩形OABC绕点O逆时针旋转至矩形ODEF．
（1）如图1，当∠AOD=60°时，△OCF的形状是

 

；
（2）如图2，当点E落在y轴的正半轴上，试求CE的长度和点D的坐标；
（3）如图3，在图2的基础上再沿y轴的负半轴向下平移，平移速度是每秒1个单位长度．
①求经过几秒，直线DE经过点A；
②设两矩形重叠部分的面积为S，运动时间为t，写出重叠部分面积S与时间t之间的函数关系式

Answer 1

分析：（1）利用有一个角是60°的三角形是等边三角形即可作出判定；
（2）根据OA=4，OC=2，BC=OA，因而就可求得BC=2CD，则可以求出∠BCD=60°，则旋转角即可求得；作DM⊥CB于点M，FN⊥CB于点N，根据三角函数即可求得：DM，CM的长，从而求得D的坐标，在Rt△CFN中，根据三角函数即可求得CN，FN的长，即得F的坐标；
（3）①HB即为直线EF经过点B时移动的距离．在Rt△C′DH中利用三角函数即可求得DH，从而得到HE，再在△HEB中，利用三角函数求得BH，即可求得时间．
②重合的部分可能是四边形，也可能是三角形，应分两种情况进行讨论．

解答：解（1）等边三角形…（1分）

（2）∵OE=

22+42

=2

5

，OC=2，
∴CE=2

5

-2…（2分）
过点D作DG⊥OE
∵DG•OE=DE•OD
∴DG=

4 5

5

OG=

8 5

5

∴D（

4 5

5

，

8 5

5

）…（3分）

（3）①设直线DE所在直线的解析式为y=kx+b，
∵D（

4 5

5

，

8 5

5

），E（0，2

5

）
∴

4 5 5 k+b= 8 5 5 b=2 5

∴DE所在的直线为y=-

1

2

x+2

5

∴平移后DE所在的直线为y=-

1

2

x+b，把A（4，0）代入得b=2∴平移了2

5

-2  （2

5

-2）÷1=2

5

-2（秒）…（5分）
②s=t+1                          （0≤t≤

8 5

5

-2）…（6分）
S=-

5

4

t²+（4

5

-4）t-20+8

5

      （

8 5

5

-2＜t≤2

5

-2）…（7分）
S=4-

1

4

t²                       （2

5

-2＜t≤

8 5

5

）…（8分）
S=t²-4

5

t+20                    （

8 5

5

＜t≤2

5

） …（9分）
0                              （2

5

＜t） …（10分）

点评：本题是三角函数与图形的旋转相结合的题目，注意旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．得到相等关系是解决本题的关键．