Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣4x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在双曲线在第一象限的分支上，则a的值是____．

Answer 1

【答案】3

【解析】如图作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点F，CN交反比例函数于H，利用三角形全等，求出点C、点H坐标即可解决问题．

解：如图，作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点F，CN交反比例函数于H．

∵直线y=﹣4x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴点B（0，4），点A（1，0），

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=DC=BC，∠BAD=90°，

∵∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠DAM=90°，

∴∠ABO=∠DAM，

在△ABO和△DAM中，∠BOA=∠AMD=90°，∠ABO=∠DAM，AB=AD，

∴△ABO≌△DAM，

∴AM=BO=4，DM=AO=1，

同理可以得到：CF=BN=AO=1，DF=CN=BO=4，

∴点F（5，5），C（4，1），D（5，1），

设点D在双曲线y=（k≠0）上，则k=5，

∴反比例函数为y=，

∴直线CN与反比例函数图象的交点H坐标为（1，5），

∴正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，顶点C恰好落在双曲线y=上时，a=4﹣1=3，

故答案为3．

“点睛”本题考查反比例函数与一次函数的交点、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．