Question

如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　 　．

 

Answer 1

【答案】

。

【解析】首先，需要找出点B运动的路径（或轨迹），其次，才是求出路径长。由题意可知，OM=，点N在直线y=－x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，∴ ON=。如图①所示，

设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B₀，动点P在N点（起点）时，点B的位置为B_n，连接B₀B_n．

∵AO⊥AB₀，AN⊥AB_n，∴∠OAC=∠B₀AB_n。

又∵AB₀=AO?tan30°，AB_n=AN?tan30°，

∴AB₀：AO=AB_n：AN=tan30°。

∴△AB₀B_n∽△AON，且相似比为tan30°。

∴B₀B_n=ON?tan30°=。

现在来证明线段B₀B_n就是点B运动的路径（或轨迹）：

如图②所示，

当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B_i，连接AP，AB_i，B₀B_i。

∵AO⊥AB₀，AP⊥AB_i，∴∠OAP=∠B₀AB_i。

又∵AB₀=AO?tan30°，AB_i=AP?tan30°，∴AB₀：AO=AB_i：AP。

∴△AB₀B_i∽△AOP，∴∠AB₀B_i=∠AOP。

又∵△AB₀B_n∽△AON，∴∠AB₀B_n=∠AOP。

∴∠AB₀B_i=∠AB₀B_n。

∴点B_i在线段B₀B_n上，即线段B₀B_n就是点B运动的路径（或轨迹）。

综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B₀B_n，其长度为。