Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径R=5，cosA=，求线段CD的长．

Answer 1

【答案】（1）DE与⊙O相切，理由见解析；

（2）CD=．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出OD⊥DE，进而得出答案；

（2）在Rt△ABC中根据AC=求得AC，在RT△ABD中由AD=ABcosA求得AD，即可得答案．

试题解析：（1）直线DE与⊙O相切．

理由如下：连接OD．

∵OA=OD，∴∠ODA=∠A，又∵∠BDE=∠A，∴∠ODA=∠BDE，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=90°，即∠ODA+∠ODB=90°，∴∠BDE+∠ODB=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；

（2）∵R=5，∴AB=10，在Rt△ABC中，∵cosA==，∴AC===，

又∵在RT△ABD中，AD=ABcosA=10×=8，

∴CD=AC﹣AD=﹣8=．