练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标为A（-8，0），B（3，0），C（0，4）．动点P从点A出发，沿着AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；动点Q从点B出发，沿着射线BC，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达B时，点Q也停止运动．P，Q两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
    （1）求线段BC的长度；
    （2）当△APQ为等腰三角形时，求t的值；
    （3）设△APQ的外接圆的圆心为M，当点C在⊙M上时，请求出t的值．
    考点：圆的综合题,等腰三角形的性质,勾股定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质
    专题：综合题,分类讨论
    分析：（1）在Rt△BOC中运用勾股定理就可求出BC的长；
    （2）由于等腰△APQ的腰没有确定，因此需分三种情况（①PA=PQ，②QA=QP，③AP=AQ）讨论，作QH⊥x轴，垂足为H，然后利用等腰三角形的性质及勾股定理建立关于t的方程，就可解决问题；
    （3）根据圆周角定理可得∠PQC=∠PAC，从而证到△BAC∽△BQP，然后利用相似三角形的性质得到关于t的方程，就可解决问题．
    解答：解：（1）∵B（3，0），C（0，4），
    ∴OB=3，OC=4．
    在Rt△BOC中，
    ∵∠BOC=90°，
    ∴BC=
    		OB2+OC2
    =5．

    （2）①当PA=PQ时，作QH⊥x轴，垂足为H，如图1，

    由题可得：PQ=PA=BQ=t．
    ∵A（-8，0），B（3，0），
    ∴OA=8，OB=3，∴AB=11．
    ∵sin∠HBQ=
    QH
    BQ
    =
    OC
    BC
    =
    4
    5
    ，cos∠HBQ=
    BH
    BQ
    =
    OB
    BC
    =
    3
    5
    ，
    ∴QH=
    4
    5
    t，BH=
    3
    5
    t．
    ∴PH=
    .
    11-t-
    3
    5
    t
    .
    =
    .
    11-
    8
    5
    t
    .
    ．
    在Rt△PHQ中，
    ∵QH2+PH2=PQ2，
    ∴(
    4
    5
    t)2+(11-
    8
    5
    t)2=t2    ．
    解得：t1=5，t2=11．
    ②当QP=QA时，作QH⊥x轴，垂足为H，如图2，

    则AH=PH=
    1
    2
    AP=
    1
    2
    t，BH=11-
    1
    2
    t    ．
    又∵BH=
    3
    5
    t（已证），
    ∴
    3
    5
    t=11-
    1
    2
    t    ．
    解得：t=10．
    ③当AP=AQ时，作QH⊥x轴，垂足为H，如图3，

    则有AQ=AP=t．
    在Rt△AHQ中，
    ∵QH2+AH2=AQ2，QH=
    4
    5
    t，AH=11-
    3
    5
    t，AQ=t，
    ∴（
    4
    5
    t）2+（11-
    3
    5
    t）2=t2．
    解得：t=
    55
    6
    ．
    终上所述：当△APQ为等腰三角形时，t的值为5、11、10、
    55
    6
    ．

    （3）当点C在⊙M上时，如图4．

    则有∠PQC=∠PAC．
    ∵∠PBQ=∠CBA，∠PQB=∠CAB，
    ∴△BAC∽△BQP，
    ∴
    BA
    BQ
    =
    BC
    BP
    ．
    ∴BA•BP=BC•BQ．
    ∵BA=11，BP=11-t，BC=5，BQ=t，
    ∴11（11-t）=5t．
    解得：t=
    121
    16
    ．
    ∴当点C在⊙M上时，t的值为
    121
    16
    ．
    点评：本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知方程4x-3y=5，用含x的代数式表示y的式子是
     
    ，当x=-
    1
    4
    时，y=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    小燕做了下列三道计算：①
    1
    3
    -
    1
    3
    ×2=0×2=0；②6÷（
    2
    3
    -
    3
    2
    ）=6÷
    2
    3
    -6÷
    3
    2
    =9-4=5；③-22-（-3）3=4-27=-23其中正确的有（　　）
    A、0道B、1道C、2道D、3道

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    下列关系式中，表示y是x的正比例函数的是（　　）
    A、y=
    6
    x
    B、y=
    x
    6
    C、y=x+1
    D、y=2x2

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    计算及化简：
    （1）（
    		a
    +
    1
    		a
    ）2-（
    		a
    -
    1
    		a
    ）2
    （2）
    a-b
    		a
    -
    		b
    -
    a+b-2
    		ab
    		a
    -
    		b

    （3）
    x
    		y
    -y
    		x
    x
    		y
    +y
    		x
    -
    y
    		x
    +x
    		y
    y
    		x
    -x
    		y

    （4）
    a+2
    		ab
    +b
    a-b
    -（
    		a
    a+
    		ab
    -
    		b
    b-
    		ab
    ）÷
    		a
    b+
    		ab
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    计算：
    （1）
    2
    5
    3
    2
    ×（-
    2
    3
    15
    8
    ）；
    （2）
    36
    a2
    +
    36
    b2
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，求AD长．
    （2）已知△ABC中，AB=13，AC=15，AD⊥BC，且AD=12，求BC的长．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    计算：
    （1）
    		412-402
    		32+42

    （2）
    100
    		x5y
    0.5
    		x2y

    （3）
    2
    45
    ÷
    3
    2
    		1
    3
    5

    （4）
    a
    b
    （
    b
    a
    ÷
    1
    b
    ）．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知（n-3）xn-1+x-2是关于x的一次式，约定x0=1（x≠0），求n的值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案