Question

15．如图所示，∠DAB=∠DCB=90°．CB=CD，且AD=3，AB=4，则AC的长为（　　）

• A． $\frac{7\sqrt{2}}{2}$
• B． 5
• C． $\frac{\sqrt{2}}{7}$
• D． 7

Answer 1

分析 作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，则四边形AECF是矩形，得出∠FCE=90°，证出∠DCF=∠BCE，由AAS证明△CDF≌△CBE，得出CF=CE，DF=BE，证出四边形AECF是正方形，得出AE=AF，设DF=BE=x，则AF=x+3，列出方程，解方程求出DF、AF，即可得出AC的长．

解答 解：作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，如图所示：
则∠CFD=∠CEB=90°，四边形AECF是矩形，
∴∠FCE=90°，
∵∠DCB=90°，
∴∠DCF=∠BCE，
在△CDF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠CEB}&{\;}\\{∠DCF=∠BCE}&{\;}\\{CD=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CF=CE，DF=BE，
∴四边形AECF是正方形，
∴AE=AF，
设DF=BE=x，则AF=x+3，AE=4-x，
∴x+3=4-x，
解得：x=$\frac{1}{2}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$，
∴AF=3+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴AC=$\sqrt{2}$AF=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$；
故选：A．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、三角函数、矩形的判定；熟练掌握正方形的判定与性质，通过作辅助线构造三角形全等是解决问题的关键．