Question

已知二次函数y=ax²-2ax+c的图象与x轴交于A（-1，0）、B两点，其顶点为M．
（Ⅰ）根据图象，解不等式ax²-2ax+c＞0；
（Ⅱ）若点D（-3，6）在二次函数的图象上，试问：线段OB上是否存在N点，使得∠ADB=∠BMN？若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据图象确定出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性求出点B的坐标，然后找出函数图象在x轴上方的x的取值范围即可；
（Ⅱ）根据点A、D的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式，根据函数解析式求出顶点M的坐标，存在N（t，0）（0≤t≤3），过点D作DE⊥x轴于点E，设对称轴与x轴的交点为F，根据点D、B、M的坐标求出∠DBA=∠MBN=45°，再结合∠ADB=∠BMN证明△ADB和△NMB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解答：解：（Ⅰ）∵函数y=ax²-2ax+c图象的对称轴为直线x=1，
∴A、B两点关于直线x=1对称，
又∵A点的坐标为（-1，0），
∴B点的坐标为（3，0），
由图可知，二次函数开口向上，a＞0，
所以，不等式ax²-2ax+c＞0的解集为x＜-1或x＞3；

（Ⅱ）存在点N（，0），使得∠ADB=∠BMN．
理由如下：∵A（-1，0）、D（-3，6）都在此函数图象上，
∴，
解得，
∴此二次函数的解析式为：y=x²-x-=（x-1）²-2，
函数图象的顶点为M（1，-2），
假设线段OB上存在N（t，0）（0≤t≤3）点，使得∠ADB=∠BMN，
过D作DE⊥x轴于E，设对称轴与x轴相交于点F，
∵D（-3，6），B（3，0），M（1，-2），
∴DE=6，BE=OB+OE=6，MF=2，BF=3-1=2，
∴△DEB、△BMF为等腰直角三角形，∠DBA=∠MBN=45°，
又∵∠ADB=∠BMN，
∴△ADB∽△NMB，
∴=，
即=，
解得t=，
所以，线段OB上存在点N（，0），使得∠ADB=∠BMN．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的对称性，利用函数图象求不等式的解集，待定系数法求二次函数解析式，以及相似三角形的判定与性质，（Ⅱ）中根据数据的特殊性求出△DEB、△BMF为等腰直角三角形，从而得到∠DBA=∠MBN=45°是解题的关键．