Question

8．如图，反比例函数y₁=$\frac{-2}{x}$的图象有一个动点A，过点A、O作直线y₂=ax，交
图象的另一支于点B．
（1）若点A的坐标是（-1，2），则有
①点B的坐标是（1，-2）；
②当x满足-1＜x＜0或x＞1时，y₁＞y₂；
（2）若在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在反比
例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上运动，且tan∠CAB=2，求k的值．

Answer 1

分析 （1）①由A点坐标可求得直线解析式，联立两函数解析式可求得B点坐标；②由A、B坐标，结合函数图象，可求得满足条件的x的范围；
（2）过A作AD⊥x轴于点D，过C作CE⊥x轴于点E，连接OC，可知OC⊥AB且平分AB，由三角函数的定义可求得$\frac{CO}{AO}$=2，可设出A点坐标，由△ADO∽△OEC，可表示出C点坐标，则可求得k的值．

解答 解：
（1）①∵直线y₂=ax过点A，
∴-a=2，解得a=-2，
∴直线解析式为y₂=-2x，
联立直线和反比例函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{x}}\\{y=-2x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴B（1，-2），
故答案为：（1，-2）；
②∵y₁＞y₂，即反比例函数图象在直线的上方所对应的x的取值范围，
∴当-1＜x＜0或x＞1时，有y₁＞y₂，
故答案为：-1＜x＜0或x＞1；

（2）如图，过A作AD⊥x轴于点D，过C作CE⊥x轴于点E，连接OC，

∵CA=CB，且O为AB的中点，
∴CO⊥AB，
∵tan∠CAB=2，
∴$\frac{CO}{AO}$=2，
又∠AOD+∠COE=∠COE+∠OCE=90°，
∴∠AOD=∠OCE，且∠ADO=∠CEO，
∴△COE∽△OAD，
∴$\frac{CE}{OD}$=$\frac{OE}{AD}$=$\frac{CO}{AO}$=2，
设A（t，-$\frac{2}{t}$）（t＜0），则OD=-t，AD=-$\frac{2}{t}$，
∴CE=2OD=-2t，OE=2AD=-$\frac{4}{t}$，
∴C（-2t，-$\frac{4}{t}$），
∴k=-2t×（-$\frac{4}{t}$）=8．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、方程思想及数形结合思想等知识．在（1）中求得B点的坐标是解题的关键，在（2）中构造相似三角形，用A点的坐标表示出C点坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．