Question

如图，已知CD是⊙O的直径，点A为CD延长线上一点，BC=AB，∠CAB=30°．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求的长．

Answer 1

（1）证明：连接OB，如图所示：
∵BC=AB，∠CAB=30°，
∴∠ACB=∠CAB=30°，
又OC=OB，
∴∠CBO=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠CBO+∠ACB=60°，
在△ABO中，∠CAB=30°，∠AOB=60°，
可得∠ABO=90°，即AB⊥OB，
则AB为圆O的切线；

（2）解：∵OB=2，∠BOD=60°，
∴的长度l==π．
分析：（1）连接OB，如图所示，由BC=AB，利用等边对等角得到一对角相等，由∠CAB的度数得出∠ACB的度数，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，确定出∠CBO的度数，由∠AOB为△BOC的外角，利用外角的性质求出∠AOB的度数，在△AOB中，利用三角形的内角和定理求出∠ABO为90°，可得出AB为圆O的切线，得证；
（2）利用弧长公式求解．
点评：此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，以及弧长公式的运用，切线的判定方法有两种：有点连接，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径．