Question

17．如图，已知（1）已知△ABC的两条中线BD、CE交于点M，A、D、M、E四点共圆，BC=8，则AM的长为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$
• C． $\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 延长AM交BC于F，连接ED，根据三角形中位线定理得出ED∥BC，即可求得∠DBC=∠MDE，根据四点共圆，可得∠MDE=∠BAF，由题意可得M是三角形的重心，则F是BC的中点，AM=2FM，证得△ABF∽△MBF，可得$\frac{AF}{BF}$=$\frac{BF}{FM}$，得出AF•FM=BF²=16，根据条件化成$\frac{3}{4}$AM²=16，即可求得结论．

解答 解：延长AM交BC于F，连接ED，
∵BD、CE是△ABC的两条中线，
∴ED∥BC，
∴∠DBC=∠MDE，
∵A、D、M、E四点共圆，
∴∠MDE=∠BAF，
∵△ABC的两条中线BD、CE交于点M，
∴BF=FC=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴M为三角形的重心，
∴AM=2FM，
∵∠BAF=∠MBF，∠AFB=∠BFM，
∴△ABF∽△MBF，
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{BF}{FM}$，
∴AF•FM=BF²=16，
（AM+$\frac{1}{2}$AM）•$\frac{1}{2}$AM=16，
∴$\frac{3}{4}$AM²=16，
∴AM=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
故选C．

点评 本题考查了三角形的重心，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理等，作出辅助线，构建相似三角形是解题的关键．