Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AD=6，BC=12，梯形ABCD的面积为36，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向点B运动，两点同时出发，点P到达点C时，Q点随之停止运动．
（1）线段CD的长为

 

；
（2）设P、Q运动时间为t（0＜t＜5）秒，PQ与梯形ABCD的边DC、BC所围成的三角形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使以P、Q、C三点为顶点的三角形是直角三角形，若有，请求出相应时间；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作AE⊥BC，DF⊥BC，则四边形ADFE是矩形，△ABE≌△DCF，由勾股定理可求得CD的值；
（2）过点P作PG⊥BC于点G，则PG是△PCQ的高，由平行线的性质可求得高PG用t表示的代数式，而CQ=2t，故可求得S与t的关系式；
（3）分两种情况讨论：当PQ⊥BC时，作DE⊥BC于E，由平行线分线段成比例可求解；当QP⊥CD时，可由相似三角形的性质求解．

解答：解：（1）作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分为点E、F，则四边形ADFE是矩形，EF=AD=6，AE=DF，
由题意四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD，∠AEB=∠DFC，
∴△ABE≌△DCF，
∴CF=BE=（BC-EF）÷2=3
∵梯形的面积为36，
∴DF=36×2÷（AD+BC）=36×2÷（6+12）=4
在Rt△CDF中，由勾股定理得CD=

CF2+DF2

=5；


（2）过点P作PG⊥BC于点G，则PG是△PCQ的高，有PG∥DF，
∴PG：DF=CP：CD，
∵DP=t，CD=5，DF=4，PC=CD-DP
∴PG=

4(5-t)

5

，
∵CQ=2t，
∴S_△PCQ=

1

2

CQ•PG=

1

2

•2t•

4(5-t)

5

=

-4t2+20t

5

（3）当P、Q、C三点构成的三角形是直角三角形时，有两种情况：
①当PQ⊥BC时，作DE⊥BC于E，

∴PQ∥DE，
∴

CP

CD

=

CQ

CE

，
∴

5-t

5

=

2t

3

，
∴t=

15

13

（7分）
②当QP⊥CD时，

∵∠QPC=∠DEC=90°，∠C=∠C，
∴△QPC∽△DEC，
∴

PC

EC

=

CQ

CD

，

5-t

3

=

2t

5

，
∴t=

25

11

（9分）
由①、②知：当t=

15

13

或

25

11

时，P、Q、C三点构成的三角形是直角三角形

点评：本题考查了等腰梯形的性质，利用了平行线分线段成比价的性质、相似三角形的知识．注意处级（3）小题要分两种情况讨论．