Question

6．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，点B在⊙O上，BP的延长线交直线l于点C，连结AB，AB=AC．
（1）直线AB与⊙O相切吗？请说明理由；
（2）线段BC的中点为M，当⊙O的半径r为多少时，直线AM与⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）连接OB，如图，利用等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB，∠OPB=∠OBP，则利用对顶角相等可得到∠OBP+∠ABC=90°，则OB⊥AB，于是可判定直线AB是⊙O的切线；
（2）设AM与⊙O切于点T，连接OT，如图，利用切线长定理得到∠OAT=∠OAB，再利用等腰三角形的性质得∠CAM=∠BAM，则∠CAM=2∠OAT，于是可得到∠OAT=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到OT=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$．

解答 解：（1）直线AB与⊙O相切．理由如下：
连接OB，如图，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∵OA⊥l，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACB+∠APC=90°．
而∠ABC=∠ACB，∠APC=∠OPB=∠OBP，
∴∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）设AM与⊙O切于点T，连接OT，如图，
∵AB和AT为切线，
∴∠OAT=∠OAB，
∵M点为BC的中点，
而AB=AC，
∴∠CAM=∠BAM，
∴∠CAM=2∠OAT，
而∠CAO=90，
∴∠OAT=30°，
∴OT=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了切线长定理．