Question

已知：反比例函数．
（1）若将反比例函数的图象绕原点O旋转90°，求所得到的双曲线C的解析式并画图；
（2）双曲线C上是否存在到原点O距离为的点P？若存在，求出点P的坐标．

Answer 1

解：（1）建立平面直角坐标系如图，如图所示，红色的双曲线即为双曲线C，
反比例函数y=-上的点（-2，3）绕点O顺时针旋转90°后对应的点为（3，2），
所以，双曲线C的解析式为y=；

（2）设点P坐标为（a，），
则a²+（）²=²，
整理得，a⁴-13a²+36=0，
解得a²=4或a²=9，
解得a₁=2，a₂=-2，a₃=3，a₄=-3，
所以=3，=-3，=2，=2，
所以点P的坐标为（2，3）或（-2，-3）或（3，2）或（-3，-2）．
分析：（1）建立网格平面直角坐标系，然后利用描点法作出反比例函数y=-的图象，然后找出绕点O旋转90°后的对应点，再描点连线作出函数图象即可；
（2）根据函数解析式设出点P的坐标为（a，），然后利用勾股定理列式进行计算即可得解．
点评：本题考查了利用旋转变换作图，反比例函数图象，以及反比例函数图象上点的坐标特征，作出网格平面直角坐标系是解题的关键．