Question

如图，正比例函数y=

1

2

x的图象与反比例函数y=

k

x

(k≠0)在第一象限的图象交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点M，且△OAM的面积为1．若点B（1，m）为反比例函数在第一象限图象上的一点，点P在x轴上，且使PA+PB最小，则点P的坐标为

（

5

3

，0）

．

Answer 1

分析：首先根据反比例函数中比例系数k的几何意义求得解析式，即可求得A、B的坐标，作出A关于x轴的对称点A′，直线BA′与x轴的交点就是P点，利用待定系数法即可求得BA′的解析式，即可求解．

解答：解：∵△OAM的面积为1，
∴反比例函数y=

k

x

(k≠0)的解析式是：y=

2

x

．
把x=1代入得：y=m=2，则B的坐标是（1，2）．
解方程组：

y= 1 2 x y= 2 x

，
解得：x=2，y=1．
则A的坐标是（2，1）．
A关于x轴的对称点A′的坐标是（2，-1）．
设直线A′B的解析式是：y=kx+b，根据题意得：

2k+b=-1 k+b=2

，
解得：

k=-3 b=5

，
则直线的解析式是：y=-3x+5．
令y=0得：x=

5

3

，则P的坐标是：（

5

3

，0）．
故答案是：（

5

3

，0）．

点评：本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，以及待定系数法求函数的解析式，正确确定P的位置是关键．