Question

已知：如图，在△OAP中，OA=6，sin∠POA=，cot∠PAO=，二次函数的图象经过O、A、P三点．
（1）求点P的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）在x轴的下方，且在二次函数图象的对称轴上求一点M，使得△MOP与△AOP的面积相等．

Answer 1

解：（1）过点P作PH⊥OA，垂足为点H．
设点P的坐标为（x，y），则OH=x，PH=y．
∵，∴tan．∴．∴．
∵cot，∴．∴．
∵OA=OH+AH=6，∴．
∴y=3．∴x=4．
∴点P的坐标为（4，3）．
（2）设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c．
由题意，得
解得
∴所求二次函数的解析式为．
（3）设点M的坐标为（3，y），二次函数的对称轴与OP相交于点C．
由题意，得 点C的坐标为（3，）．
∴S_△MOP=S_△COM+S_△PCM=．

而S_△MOP=S_△AOP，S_△AOP=，
∴．∴．
∴点M的坐标为（3，）．
另解：设二次函数的对称轴与x轴交于点B，连接MA．
∵△MOP与△AOP的面积相等，且OP是公共边，
∴点M到OP与点A到OP的距离相等．
∴AM∥OP．
∴∠MAB=∠POA．
∴tan∠MAB=tan．
∵AB=3，∴．
∴．
∴点M的坐标为（3，）．
分析：（1）过点P作PH⊥OA，垂足为点H，将原图分为两个直角三角形，利用锐角三角函数的定义，列方程求解；
（2）设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，由O、A、P三点坐标代入，列方程求a、b、c的值，确定抛物线解析式；
（3）根据二次函数解析式可知，对称轴为x=3，可设点M的坐标为（3，y），二次函数的对称轴与OP相交于点C，由P点坐标可求直线OP解析式，把x=3代入可求C点坐标，由S_△MOP=S_△COM+S_△PCM，S_△MOP=S_△AOP，列方程求M点纵坐标y即可．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是利用直角三角形的边角关系求点P的坐标，根据二次函数的图象经过O、A、P三点，求抛物线解析式，根据三角形面积相等，列方程求M点的坐标．