Question

9．如图，在正方形ABCD中，△APBC是等边三角形，连接PD，DB，则$\frac{{S}_{△BPD}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．

Answer 1

分析 根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积-△BCD的面积，列式进行计算求得答案即可．

解答 解：如图，

过P作PE⊥CD，PF⊥BC，
设正方形ABCD的边长是啊，
∵△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=a，
∴∠PCE=30°
∴PF=PB•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，PE=PC•sin30°=$\frac{1}{2}$a，
∴S_△BPD=S_{四边形PBCD}-S_△BCD=S_△PBC+S_△PDC-S_△BCD=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a×a-$\frac{1}{2}$×a×a=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$a²，
∴$\frac{{S}_{△BPD}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．

点评 本题考查的正方形的性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PE及PF的长，再根据三角形的面积公式得出结论．