Question

6．已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，M是FD的中点，
（1）如图①，当BF落在BC上时，试判断ME和MC的关系，并说明理由；
（2）如图②，将三角形BEF绕点B旋转至BE落在BC上时，上述结论是否依然成立？说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论；
（2）先证明△DHM≌△FEM，得EF=DH，EM=HM，而BE=EF，得出BE=DH，根据正方形的性质得CB=CD，则CH=CE，于是可判断△CHE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到MC⊥EH，MC=EM=MH，即EM=MC，EM⊥MC．

解答 解：（1）ME=MC，ME⊥MC；如图1所示：理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，
∴∠DCF=90°，∠BEF=90°，
∴∠DEF=90°，
∵M是FD的中点，
∴ME=$\frac{1}{2}$DF，MC=$\frac{1}{2}$DF，
∴ME=MC；
∵EM=MD，
∴∠3=∠5，
∴∠1=2∠3，
同理∠2=2∠4，
∴∠EGC=2（∠3+∠4）=90°，
∴EM⊥MC．
（2）上述结论成立；理由如下：
延长EM交CD于点H，如图2所示：
∵∠BEF=90°，
∴EF⊥BC，
而CD⊥BC，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠2，
∵点M为DF的中点，
∴DM=FM，
在△DHM和△FEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}&{\;}\\{DM=FM}&{\;}\\{∠4=∠3}&{\;}\end{array}\right.$
∴△DHM≌△FEM（ASA）
∴EF=DH，EM=HM，
∵BE=EF，
∴BE=DH，
∵CB=CD，
∴CD-DH=CB-BE，即CH=CE，
∴△CHE为等腰直角三角形，
∵EM=MH，
∴EM⊥MC，MC=EM．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质；本题难度较大，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和等腰直角三角形才能得出结论．