Question

11．（1）如图1，已知OC是∠AOB内部的一条射线，∠AOC=30°，OE是∠COB的平分线．当∠COE=40°时，求∠AOB的度数；
（2）如图2，已知射线Ox与射线Oy互相垂直，B，A分别为Ox、Oy上一动点，∠ABx、∠BAy的平分线交于C．问：B、A在Ox、Oy上运动过程中，∠C的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由．
（3）如图3，E和D分别在△ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，若∠B=70°，∠D=40°，求∠F的大小．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线线的定义求得∠COB=80°．然后根据图中角与角间的和差关系得到∠AOB=∠AOC+∠COB=110°．
（2）根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质可以得到∠C=90°-$\frac{1}{2}$∠O．
（3）由CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，得∠3=∠4，∠1=∠2，所以有∠3+∠B=∠2+∠F；∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+∠D，即2∠3+∠B=2∠2+∠D，而∠B=70°，∠D=40°，于是由两个等式即可求出∠F．

解答 解：（1）如图1，∵OE是∠COB的平分线（已知），
∴∠COB=2∠COE（角平分线定义），
∵∠COE=40°，
∴∠COB=80°．                  
∵∠AOC=30°，
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=110°．  

（2）如图2，∠C的度数不改变，为45°．
∵∠ABN、∠BAM的平分线交于C，
∴∠C=180°-（∠1+∠2）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABN+∠BAM）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠O+∠OAB+∠BAM）
=90°-$\frac{1}{2}$∠O
=45°．

（3）如图3，∵CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，
∴∠3=∠4，∠1=∠2，
∵∠3+∠B=∠2+∠F；
∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+∠D，即2∠3+∠B=2∠2+∠D，
又∵∠B=70°，∠D=40°，
∴∠3+70°=∠2+∠F①，
2∠3+70°=2∠2+40°②，
①×2-②得，70°=2∠F-40°，
解得∠F=55°．

点评 此题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及角平分线定义．根据题意得到∠C和∠O之间的数量关系（∠C=90°-$\frac{1}{2}$∠O）是解题的难点．