Question

如图：平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标为A（a，0），B（b，0），C（0，c），且a，b，c满足．点D为线段OA上一动点，连接CD．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）如图，过点D作CD的垂线，过点B作BC的垂线，两垂线交于点G，作GH⊥AB于H，求证：；
（3）如图，若点D到CA、CO的距离相等，E为AO的中点，且EF∥CD交y轴于点F，交CA于M．求的值．

Answer 1

解：（1）∵，
∴，
∴．
∵A（a，0），B（b，0），C（0，c），
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
∴AO=2，BO=2，CO=2，
∴AB=4，
∴AB²=16
在Rt△AOC和Rt△BOC中，由勾股定理可以得出
AC²=8，BC²=8，
∴AC=BC，AC²+BC²=16，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）∵GD⊥CD，GB⊥BC，GH⊥AB，
∴∠CDG=∠CBG=∠GHD=90°．
∴∠CDO+∠GDO=∠CDO+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠GDH，
∴tan∠DCO=tan∠GDH．
设OD=b，BH=a，则HO=2-a，
∵tan∠DCO=，tan∠GDH=．
∴=，
∴b²+（2-a）b-2a=0
∴（b-a）（b+2）=0，
∴b=a，b=-2
∵b＞0
∴b=-2（不符合题意，舍去），
∴b=a，
∴DH=2-a+a=2，
∴DH=CO．
∵S_△CAD=，S_△GHD=，
∴，
∴，
∵DH=CO，
∴；

（3）如图2，过点D作DG⊥AC于G，
∴∠AGD=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠GAD=45°，
∴∠ADG=45°，
∴∠GAD=∠ADG，
∴AG=GD．
∵DG=DO，
∴OD=GD=AG．
设DO=x，AD=2-x，在Rt△AGD中，由勾股定理，得
AD²=AG²+GD²，
（2-x）²=x²+x²，
x=2-2．
∴DO=2-2
∵E为AO的中点，
∴AE=EO=1，
∴ED=3-2，AD=4-2．
∵DC∥EF，
∴，，
∴，，
∴FC=-1，AM=+1，
∴==．
答：的值是．
分析：（1）根据非负数的性质建立一个方程组，求出其解就可以得出A、B、C的坐标，从而可以求出OA、OB、OC的值，由勾股定理的逆定理就可以求出△ABC的形状．
（2）由条件可以得出∠DCO=∠GDH，就有tan∠DCO=tan∠GDH，设OD=b，BH=a，则HO=2-a，根据，就可以求出a、b的关系从而得出OC=DH，最后根据三角形的面积公式就可以求出结论．
（3）过点D作DG⊥AC于G，设DO=x，在Rt△AGD中由勾股定理可以得出x=2-2，进而可以求出AD、ED的值，再由相似三角形的性质就可以得出CF、AM的值，从而可以求出的值．
点评：本题考查了非负数的性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正切值的判定及运用，平行线分线段成比例定理的运用，解答本题时注意三个问题是递进关系，必须逐一解决，利用全等三角形的性质是解答第二问的关键，利用平行线分线段成比例定理是求出线段长短的关键．