Question

4．如图，∠P的两边分别与⊙O交于点A、B、C、D，且其平分线恰好过圆心O．求证：PA=PC．

Answer 1

分析 作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F，根据垂径定理得到AE=EB，CF=FD，根据角平分线的性质定理得到OE=OF，证明△POE≌△POF，得到PE=PF，计算即可．

解答 证明：作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F，
∴AE=EB，CF=FD，
∵OP平分∠BPD，OE⊥PB，OF⊥PD，
∴OE=OF，
∴AB=CD，
∴AE=CF，
在△POE和△POF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OPE=∠OPF}\\{∠PEO=∠PFO}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△POE≌△POF，
∴PE=PF，
∴PE-AE=PF-CF，即PA=PC．

点评 本题考查的是垂径定理、角平分线的性质定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．