(1)观察发现:如(a)图.若点A.B在直线l同侧.在直线l上找一点P.使AP+BP的值最小．做法如下:作点B关于直线l的对称点B'.连接AB'.与直线l的交点就是所求的点P．再如(b)图.在等边三角形ABC中.AB=2.点E是AB的中点.AD是高.在AD上找一点P.使BP+PE的值最小．做法如下:作点B关于AD的对称点.恰好与点C重合.连接CE交AD于一点.则这点就是所求的点P.故BP+PE� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（1）观察发现：
如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．
做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为______．
（2）实践运用：
如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是

的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
（3）拓展延伸：
如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

（1）BP+PE的最小值=

BC2-BE2

22-12

．

（2）作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，连接OA′，AA′，OB．
∵点A与A′关于CD对称，∠AOD的度数为60°，
∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，

∵点B是

的中点，
∴∠BOD=30°，
∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，
∵⊙O的直径CD为4，
∴OA=OA′=2，
∴A′B=2

．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2

．

（3）如图d：首先过点B作BB′⊥AC于O，且OB=OB′，
连接DB′并延长交AC于P．
（由AC是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠APD）．

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科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

操作与探究：
在八年级探究“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个结论时，我们是将一块直角三角形纸片按照图①方法折叠（点A与点C重合，DE为折痕）．再将图①中的△CBE沿对称轴EF折叠（如图②），通过折叠，可以发现CE=AE=BE=

AB．
（1）在上述的折叠过程中，我们还可以发现原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图③中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕；
（2）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形（其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上）．请你进一步探究，一个非特殊的四边形（指除平行四边形、梯形外的四边形）满足什么条件时，一定能折成组合矩形？
满足的条件是______．