抛物线经过点A(4,0),B(2,2),连结OB,AB.
(1)求、的值;
(2)求证:△OAB是等腰直角三角形;
(3)将△OAB绕点O按顺时针方向旋转l35°得到△OA′B′,写出A′B′的中点P的出标.试判断点P是否在此抛物线上,并说明理由.
(1);(2)证明见解析;(3)点不在抛物线上.
解析试题分析:(1)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求出抛物线的解析式;
(2)过B作BC⊥x轴于C,根据A、B的坐标易求得OC=BC=AC=2,由此可证得∠BOC、∠BAC、∠OBC、∠ABC都是45°,即可证得△OAB是等腰直角三角形;
(3)当△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°时,OB′正好落在y轴上,易求得OB、AB的长,即可得到OB′、A′B′的长,从而可得到A′、B′的坐标,进而可得到A′B′的中点P点的坐标,然后代入抛物线中进行验证即可.
试题解析:⑴ 由题意,得:,
解得:;
⑵ 过点作轴于点,则,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形;
⑶∵是等腰直角三角形,,
∴,
由题意,得:点坐标为,
∴的中点的坐标为,
当时,
∴点不在抛物线上.
考点:二次函数综合题.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12cm,OB=6cm,点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动:点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(),那么:
(1)设△POQ的面积为,求关于的函数解析式。
(2)当△POQ的面积最大时,△ POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ,试判断点C是否落在直线AB上,并说明理由。
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),且与y轴交于点B(0,-12).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若动点P从点A出发,以每秒2个单位沿射线AC方向运动;同时,点Q从点B出发,以每秒1个单位沿射线BA方向运动,当点P到达点C处时,两点同时停止运动.问当t为何值时,△APQ∽△AOB?
(3)若M为线段AB上一个动点,过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N.
①是否存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
②当点M运动到何处时,四边形CBNA的面积最大?求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
已知直线分别与y轴、x轴相交于A、B两点,与二次函数的图像交于A、C两点.
(1)当点C坐标为(,)时,求直线AB的解析式;
(2)在(1)中,如图,将△ABO沿y轴翻折180°,若点B的对应点D恰好落在二次函数的图像上,求点D到直线AB的距离;
(3)当-1≤x≤1时,二次函数有最小值-3,求实数m的值.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
已知二次函数的图象经过点(4,3),(3,0).
(1)求b、c的值;
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴,并在所给坐标系中画出该函数的图象;
(3)该函数的图像经过怎样的平移得到的图像?
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,4),D为OC的中点.
(1)求m的值;
(2)抛物线的对称轴与 x轴交于点E,在直线AD上是否存在点F,使得以点A、B、F为顶点的三角形与△ADE 相似?若存在,请求出点F的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使△GBC中BC边上的高为?若存在,求出点G的坐标;若不存在请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
已知二次函数为常数,且.
(1)求证:不论为何值,该函数的图象与轴总有两个公共点;
(2)设该函数的图象的顶点为C,与轴交于A,B两点,当△ABC的面积等于2时,求的值.
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