Question

已知，抛物线y=ax²+bx-2与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（4，0），与y轴的交点为C．
（1）求出抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点P是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OCB相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）把A（1，0）和B（4，0）代入抛物线解析式得：
，
②-①×4得：12a=-6，解得a=-，
把a=-代入①，解得b=，
所以方程组的解为：，
∴抛物线解析式为y=-x²+x-2，
令x=0，解得y=2，则C的坐标为（0，-2）；


（2）存在．根据题意画出图形，如图所示：
设P的坐标为（m，-m²+m-2）（m＞4），
根据题意得：OA=1，OC=2，OB=4，
则PM=m²-m+2，MA=MO-OA=m-1，
若△BOC∽△AMP，
∴=，即=，
化简得：m²-6m+5=0，即（m-1）（m-5）=0，
解得：m₁=1（舍去），m₂=5，
则P坐标为（5，-2）；
若△BOC∽△PMA，
∴=，即=，
化简得：m²-9m+8=0，即（m-1）（m-8）=0，
解得：m₁=1（舍去），m₂=8，
则P的坐标为（8，-14），
综上，满足题意的P有两个，其坐标分别为（5，-2）或（8，-14）．
分析：（1）由A和B两点在抛物线上，故把两点坐标代入抛物线解析式中，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值，从而确定出抛物线解析式，然后令求出的解析式中x=0，求出y的值即为C的纵坐标，写出C的坐标即可；
（2）存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OCB相似，理由为：根据题意化简图形，如图所示，根据题意分别求出OA，OB及OC的长，设出P点的横坐标为m，代入抛物线解析式表示出纵坐标，因纵坐标为负值，求出其纵坐标的相反数即为PM的长，且用OM-OA表示出AM的长，若三角形相似，根据对应点对应不同分两种情况，由相似三角形对应边成比例列出关于m的方程，分别求出方程的解即可得到m的值，从而确定出P的坐标．
点评：此题为二次函数的综合题，涉及的知识点有相似三角形的性质，一元二次方程的解法，以及抛物线解析式的确定，要求学生借助图形，利用数形结合及分类讨论的思想来解决问题，根据相似得比例时注意对应点要找对．