Question

（2013•河南模拟）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AE=AP=1，PB=

5

．则正方形ABCD的面积为

4+

6

．

Answer 1

分析：求出△AEB≌△APD，推出∠EBA=∠ADP，BE=DP，∠APD=∠AEB=135°，求出EP，过B作BF⊥AE交AE的延长线于F，连接BD，
求出BE=

3

，由勾股定理求出BF=EF=

6

，求出S_△APB+S_APD=

1

2

+

1

2

6

，S_△DPB=

1

2

×DP×BE=

3

2

，即可求出答案．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE⊥AP，AE=AP=1，
∴∠AEP=∠APE=45°，∠EAF=∠BAD=90°，
∵∠BAP=∠BAP，
∴∠EAB=∠PAD，
∵在△EAB和△PAD中

AB=AD ∠EAB=∠PAD AE=AP

∴△EAB≌△PAD（SAS），
∴∠EBA=∠ADP，BE=DP，∠APD=∠AEB=180°-45°=135°，
∴∠PEB=135°-45°=90°，
即△BEP是直角三角形，
∵AE=AP=1，
∴由勾股定理得：EP=

12+12

=

2

BE=DP=

BP2-EP2

=

3

，
过B作BF⊥AE交AE的延长线于F，连接BD，
则∠PEB=180°-135°=45°，
∴∠EBF=45°=∠FEB，
∴EF=BF，
∵BE=

3

，
∴由勾股定理得：BF=EF=

6

，
∴S_△APB+S_△APD=S_△APB+S_△AEB=S_{四边形AEBP}=S_△AEF+S_△PEB=

1

2

×1×1+

1

2

×

2

×

3

=

1

2

+

1

2

6

，
∵S_△DPB=

1

2

×DP×BE=

1

2

×

3

×

3

=

3

2

，
∴S正方形ABCD=2S_△ABD=2（S_△BPD+S_△APD+S_△APB）=2×（

1

2

+

1

2

6

+

3

2

）=4+

6

，
故答案为：4+

6

．

点评：本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，关键是分别求出△APD、△APB、△BPD的面积．