Question

6．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的顶点C落在第二象限，其斜边两端点A、B分别落在x轴、原点上，且AB=12cm；
（1）求点C的坐标；
（2）若点A沿x轴向右滑动，点B沿y轴向上滑动，当以A、O、B为顶点的三角形和△ABC全等时，求OB的长；
（3）当点A滑动到原点时，求点C滑动的路程．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CE⊥AO于E，求出CE、EO的长即可解决问题．
（2）如图2中，当OB=BC时，△ABO≌ABC，如图3中，当OB=AC时，△AOB≌△BCA，分别求出OB即可．
（3）如图4中，当点A滑动到原点时，求点C滑动的路程是C′→C→C″．求出C′C+CC″即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作CE⊥AO于E，

在Rt△ACO中，∵∠ACO=90°，∠CAO=30°，AB=12，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=6，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∵$\frac{1}{2}$•AB•CE=$\frac{1}{2}$•AC•BC，
∴CE=$\frac{AC•BC}{12}$=3$\sqrt{3}$，
∴EB=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{36-27}$=3，
∴点C坐标（-3，3$\sqrt{3}$）．

（2）如图2中，当OB=BC时，△ABO≌ABC，此时OB=6；如图3中，当OB=AC时，△AOB≌△BCA，此时OB=AC=6$\sqrt{3}$．


（3）如图4中，当点A滑动到原点时，求点C滑动的路程是C′→C→C″．

∴点C滑动的路程是C′C+CC″=（12-6）+（12-6$\sqrt{3}$）=18-6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形综合题、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法求直角三角形斜边上的高，学会正确画出图形解决问题，属于中考压轴题．