Question

13．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是（　　）

• A． $\frac{16}{3}$
• B． 5
• C． $\frac{24}{5}$
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 设MN的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形PC+PD=MN，由三角形的三边关系知，PC+PD＞CD；只有当点P在CD上时，PC+PD=MN有最小值为CD的长，即当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，MN=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB，进而求出即可．

解答 解：如图，设MN的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴∠ACB=90°，PC+PD=MN，
∴PC+PD＞CD，
∵当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，MN=CD有最小值，
∴CD=BC•AC÷AB=$\frac{24}{5}$．
故选C．

点评 此题主要考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解，得出CD=BC•AC÷AB是解题关键．