Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.

（1）求证：△ABE≌△ACE
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.

Answer 1

（1）见解析（2）当AE=2AD时，四边形ABEC是菱形。

（1）证明：∵AB=AC，BD=CD，
∴△ABC中，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
在△ABE和△ACE中

∴△ABE≌△ACE
（2）当AE=2AD时，四边形ABEC是菱形。
∵AE=2AD时，AD=DE，
又∵BD=CD，且AE⊥BC
对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以，四边形ABEC是菱形。
由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE= AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形