Question

已知：在四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=AD，AC=20．
（1）若∠B=∠D=90°，如图1，则四边形ABCD的面积是______．
（2）若∠B+∠D=180°，如图2，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

解：（1）∵∠B=∠D=90°
在RtABC和Rt△ADC中，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAC=∠DAC，
而∠BAD=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=AC=10，AB=BC=10，
∴S_{四边形ABCD}=2S_△ABC=2××10×10=100．
故答案为100；

（2）如图，∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴把△ADC绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′，
∴∠ABC′=∠D，AC′=AC，∠C′AC=60°
∵∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABC+∠ABC′=180°，
∴C′点在CB的延长线上，
而AC′=AC，∠C′AC=60°，
∴△ACC′为等边三角形，
∴S_{四边形ABCD}=S_△AC′C=AC²=×400=100．
分析：（1）由于∠B=∠D=90，AB=AD，AC为公共边，利用“HL”可证明Rt△ABC≌Rt△ADC，则∠BAC=∠DAC=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到BC=AC=10，AB=BC=10，然后根据
S_{四边形ABCD}=2S_△ABC进行计算即可；
（2）由于∠BAD=60°，AB=AD，则可把△ADC绕点A逆时针旋转60°得到△ABD′，根据旋转的性质得到∠ABC′=∠D，AC′=AC，∠C′AC=60°，而∠ABC+∠D=180°，则∠ABC+∠ABC′=180°，
得到C′点在CB的延长线上，所以△ACC′为等边三角形，然后利用S_{四边形ABCD}=S_△AC′C=AC²进行计算即可．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30°的直角三角形三边的关系与等边三角形的性质．