Question

如图所示，△ABC中，∠C=90°，tanB=0.6，AB=10．求△ABC的面积．
（1）求△ABC的面积．
（2）求∠BCD的余弦值．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ABC中，由锐角三角函数定义得到tanB等于对边AC比邻边BC，根据tanB的值，得到AC与BC的比值，根据比值设出AC与BC，再由AB的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出AC与BC的值，利用两直角边乘积的一半即可求出三角形ABC的面积；
（2）由三角形ABC的面积等于斜边AB与AB边上的高CD乘积的一半表示出面积S，再由第一问求出的面积及AB的长，求出高CD的长，在直角三角形BCD中，由锐角三角函数定义得到余弦值等于邻边比斜边，即CD比BC可得出∠BCD的余弦值．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴tanB=

AC

BC

=0.6=

3

5

，
设AC=3k，则BC=5k，又AB=10，
根据勾股定理得：（3k）²+（5k）²=100，
整理得：k²=

50

17

，又k＞0，
∴k=

5 34

17

，
∴AC=

15 34

17

，BC=

25 34

17

，
则△ABC的面积S=

1

2

AC•BC=

375

17

；
（2）∵AB=10，S=

375

17

，
∴S=

1

2

AB•CD=5CD=

375

17

，
∴CD=

75

17

，又BC=

25 34

17

，
则在Rt△BCD中，cos∠BCD=

CD

BC

=

3 34

34

．

点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，灵活运用锐角三角函数定义是解本题的关键．