Question

如图，在△ABC中，∠B=30°，∠A=15°，BC=12，以A为圆心作圆和BC相切，则⊙A的半径为

6

3

+6

．

Answer 1

分析：过A作BC延长线的垂线，垂足为D，根据直线与圆相切时圆心到切线的距离等于圆的半径，故要求圆A的半径即要求出AD的长，由∠ACD为三角形ABC的外角，由∠CAB和∠B的度数，利用外角的性质求出∠ACD为45°，再由直角三角形的两锐角互余，根据∠B的度数求出∠DAB的度数，利用∠DAB-∠CAB求出∠DAC为45°，进而确定出三角形ADC为等腰直角三角形，可设出AD=CD=x，利用DC+BC=DB表示出DB，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，得出AD的长，即为以A为圆心作圆和BC相切时圆A的半径．

解答：解：过A作BC延长线的垂线，垂足为D，

∵∠ACD为△ABC的外角，∠B=30°，∠CAB=15°，
∴∠ACD=∠B+∠CAB=30°+15°=45°，
又∠D=90°，∠B=30°，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠DAB-∠CAB=60°-15°=45°，
∴AD=CD，
可设AD=CD=x，又BC=12，
则有BD=CD+BC=x+12，
在Rt△ABD中，tanB=tan30°=

AD

BD

，即

x

x+12

=

3

3

，
解得：x=6

3

+6，
∴AD=6

3

+6，
则⊙A的半径为6

3

+6．

点评：此题考查了切线的性质，三角形的外角性质，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，即d=r，熟练掌握此性质是解本题的关键．