Question

有一块三角形菜地，∠ABC=30°，AB=米，BC=10米，现在准备在直线AC上安装喷头P，使其到AB的距离为1米，求CP的长度．

Answer 1

解：如图，△ABC中，∠ABC=30°，AB=米，BC=10米，在直线AC上有一点P，P到AB的距离PD=1米．
过A点作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AB于F．
∵∠ABC=30度，
∴AE=AB=2，BE=6，
∴EC=BC-BE=4．
在△ABC中，用余弦定理，得AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=28，
∴AC=2．
∵S_△ABC=BC•AE=AB•CF，
∴CF=5．
分两种情况：
①当点P在线段AC上时．
∵△ADP∽△AFC相似，
∴AP：AC=DP：FC，
∴AP=，
∴CP=AC-AP=；
②当点P在CA的延长线上时．
∵△ADP∽△AFC相似，
∴AP：AC=DP：FC，
∴AP=，
∴CP=AC+AP=．
故所求CP的长度为或．
分析：首先利用余弦定理求出AC的长，再根据三角形的面积公式求出AB边上的高CF．由于喷头P在直线AC上，所以分两种情况：①点P在线段AC上；②点P在CA的延长线上．针对每一种情况，都可以根据△ADP∽△AFC，利用对应边成比例求出AP，进而得出CP的长度．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式及余弦定理，P点的位置分情况讨论是解题的关键．其中运用的余弦定理超出教材大纲要求，属于竞赛题型，有一定难度．