Question

如图所示：点A和点C分别在射线BF和射线BE上运动（点A和点C不与点B重合），BF⊥BE，CD是∠ACB的平分线，AM是△ABC在顶点A处的外角平分线，AM的反向延长线与CD交于点D．试回答下列问题：
（1）若∠ACB=30°，则∠D=

45

°，若∠ACB=70°，则∠D=

45

°  
（2）设∠ACD=x，用x表示∠MAC的度数，则∠MAC=

（45+x）

°
（3）试猜想，点A和点C在运动过程中，∠D的度数是否发生变化？若变化，请求出变化范围；若不变，请给出证明．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的定义用∠ACB表示出∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠MAC，整理即可得解；
（2）根据（1）可得∠D=45°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可；
（3）根据角的平分线定义表示出∠MAC，∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得到∠D的大小只与∠ABC有关．

解答：解：（1）∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=

1

2

∠ACB，
∵AM是△ABC在顶点A处的外角平分线，
∴∠MAC=

1

2

∠FAC，
根据三角形外角性质，∠MAC=∠ACD+∠D，
∠FAC=∠ACB+∠ABC，
∴∠ACD+∠D=

1

2

（∠ACB+∠ABC），
∴

1

2

∠ACB+∠D=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ABC，
∠D=

1

2

∠ABC，
∵BF⊥BE，
∴∠ABC=90°，
∴∠D=

1

2

×90°=45°，
即∠D的大小与∠ACB无关，等于

1

2

∠ABC，
当∠ACB=30°，∠D=45°，∠ACB=70°，∠D=45°；

（2）根据（1）∠D=45°，
∵∠ACD=x，
∴在△ACD中，∠MAC=∠ACD+∠D=（45+x）°；

（3）不变．理由如下：
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=

1

2

∠ACB，
∵AM是△ABC在顶点A处的外角平分线，
∴∠MAC=

1

2

∠FAC，
根据三角形外角性质，∠MAC=∠ACD+∠D，
∠FAC=∠ACB+∠ABC，
∴∠ACD+∠D=

1

2

（∠ACB+∠ABC），
∴

1

2

∠ACB+∠D=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ABC，
∠D=

1

2

∠ABC，
∵BF⊥BE，
∴∠ABC=90°，
∴∠D=

1

2

×90°=45°．
故答案为：（1）45，45；（2）（45+x）．

点评：本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．