Question

（2012•大兴区二模）已知二次函数y=ax²+bx+2，它的图象经过点（1，2）．
（1）如果用含a的代数式表示b，那么b=

-a

；
（2）如图所示，如果该图象与x轴的一个交点为（-1，0）．
①求二次函数的表达式，并写出图象的顶点坐标；
②在平面直角坐标系中，如果点P到x轴与y轴的距离相等，则称点P为等距点．求出这个二次函数图象上所有等距点的坐标．
（3）当a取a₁，a₂时，二次函数图象与x轴正半轴分别交于点M（m，0），点N（n，0）．如果点N在点M的右边，且点M和点N都在点（1，0）的右边．试比较a₁和a₂的大小．

Answer 1

分析：（1）直接将点（1，2）代入抛物线的解析式中，即可得到a、b间的关系式．
（2）①已知抛物线图象上的两点坐标，且只有两个待定系数，利用待定系数法求解即可．
②P到x轴、y轴的距离相等，那么P点必在直线y=x或y=-x上，这两条直线与抛物线的交点，即为符合条件的等距点．
（3）首先根据（1）的结论，用a表示出函数的解析式，然后分别将M、N的坐标代入抛物线的解析式中，分别用m、n表示出a₁、a₂，通过做差可比较出a₁、a₂的大小．

解答：解：（1）将（1，2）代入y=ax²+bx+2中，得：
a+b+2=2，得：b=-a．

（2）①∵二次函数y=ax²+bx+c经过点（1，2）和（-1，0）
可得

a+b+2=2 a-b+2=0

，
解得

a=-1 b=1

，
即y=-x²+x+2，
顶点坐标为（

1

2

，

9

4

）．

②该函数图象上等距点的坐标即为此函数与函数y₁=x和函数y₂=-x的交点坐标

y=-x2+x+2 y=x

，

y=-x2+x+2 y=-x

，
解得P₁（

2

，

2

）、P₂（-

2

，-

2

）、P₃（1+

3

，-1-

3

）、P₄（1-

3

，

3

-1）．

（3）∵二次函数与x轴正半轴交于点（m，0）且a=-b，
∴a₁m²-a₁m+2=0，即 a₁=

2

m-m2

，
同理 a₂n²-a₂n+2=0，a₂=

2

n-n2

，
故 a₂-a₁=

2

n-n2

-

2

m-m2

=

2(m-n)(1-m-n)

mn(1-m)(1-n)

，
∵n＞m＞1，故 a₂-a₁=

2(m-n)(1-m-n)

mn(1-m)(1-n)

＞0，
∴a₁＜a₂．

点评：该题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及不等式的应用等知识，综合性较强，属于基础知识的综合考查，难度适中．