Question

如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连结BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连结BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点E₄、E₅、…、E₂₀₁₃，分别记△BCE₁、△BCE₂、△BCE₃、…、△BCE₂₀₁₃的面积为S₁、S₂、S₃、…、S₂₀₁₃．则S₂₀₁₃的大小为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：首先由Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，求得△ABC的面积，然后由D₁是斜边AB的中点，求得S₁的值，继而求得S₂、S₃、S₄的值，即可得到规律：S_n=S_△ABC；继而求得答案．
解答：∵Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AC==BC=6，
∴S_△ABC=AC•BC=6，
∵D₁E₁⊥AC，
∴D₁E₁∥BC，
∴△BD₁E₁与△CD₁E₁同底同高，面积相等，
∵D₁是斜边AB的中点，
∴D₁E₁=BC，CE₁=AC，
∴S₁=BC•CE₁=BC×AC=×AC•BC=S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂为其重心，
∴D₂E₁=BE₁，
∴D₂E₂=BC，CE₂=AC，S₂=××AC•BC=S_△ABC，
∴D₃E₃=BC，CE₂=AC，S₃=S_△ABC…；
∴S_n=S_△ABC；
∴S₂₀₁₃=×6=．
故选C．
点评：此题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意得到规律S_n=S_△ABC是解此题的关键．注意掌握数形结合思想的应用．