Question

（2012•丰润区一模）如图，抛物线y=

3

4

x²+bx+c的对称轴为直线x=1，且经过点A（2，-

9

4

），与x轴交于B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和B、C两点的坐标；
（3）请在该抛物线x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．

Answer 1

分析：（1）根据对称轴为直线x=1可得：-

b

2× 3 4

=1，经过点A（2，-

9

4

）可得

3

4

×22+2b+c=-

9

4

，把两式组成方程组可以算出b、c的值，进而得到抛物线解析式；
（2）求B、C点坐标就是计算

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

=0的解，顶点坐标就是把x=1代入再算出y的值，即可得到顶点坐标；
（3）根据（2）中计算的B、C点坐标可得到△EBC的一边长，当面积最大时就是E点是抛物线的顶点时，根据（2）中计算的顶点坐标可得到BC上的高，进而可计算出三角形的面积．

解答：解：（1）由已知条件得：

- b 2× 3 4 =1 3 4 ×22+2b+c=- 9 4

，
解得

b=- 3 2 c=- 9 4

，
故抛物线解析式为y=

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

；

（2）由

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
则B（-1，0），C（3，0），
当x=1时，y=

3

4

-

3

2

-

9

4

=-3，
则顶点坐标为（1，-3）；

（3）∵B（-1，0），C（3，0），
∴BC=4，
∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大，
∴E点是抛物线的顶点，
∴△EBC的面积最大=

1

2

×3×4=6．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用，关键是根据对称轴和图象所过的点计算出计算出二次函数解析式．