Question

（2012•上城区二模）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形的一边GF在BC上，其余两个顶点D，E分别在AB，AC上．连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
（1）求证：

DM

BG

=

MN

GF

；
（2）求证：MN²=DM•EN；
（3）若AB=AC=2，求MN的长．

Answer 1

分析：（1）根据平行线推出△ADM∽△ABG，推出

DM

BG

=

AM

AG

，同理得出

MN

GF

=

AM

AG

，即可得出答案；
（2）推出

DM

MN

=

BG

GF

，

GF

FC

=

MN

NE

，求出∠B=∠CEF，和∠BGD=∠EFC=90°，推出△BGD∽△EFC，得出

BG

DG

=

EF

FC

，根据DG=GF=EF推出

DM

MN

=

MN

NE

即可；
（3）由勾股定理求出BC=2

2

，根据∠B=∠C=45°，四边形DEFG是正方形，求出BG=DG=GF=EF=FC=

2 2

3

，即可求出DM=MN=EN，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵四边形DGFE是正方形，
∴DE∥BF，
∴△ADM∽△ABG，
∴

DM

BG

=

AM

AG

，
同理：

MN

GF

=

AM

AG

，
∴

DM

BG

=

MN

GF

．

（2）证明：∵由（1）可知：

DM

BG

=

MN

GF

，同理也可以得到

NE

FC

=

MN

GF

，
∴

DM

MN

=

BG

GF

，

GF

FC

=

MN

NE

，
∵∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90°．
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC=90°，
∴△BGD∽△EFC，
∴

BG

DG

=

EF

FC

，
∵DG，GF，EF是同一个正方形的边长，
∴DG=GF=EF，
∴

BG

GF

=

GF

FC

，

∴

DM

MN

=

MN

NE

，
∴MN ²=DM•EN．

（3）解：∵AC=AB=2，∠CAB=90°，
∴由勾股定理得：BC=2

2

，
∵∠B=∠C=45°，四边形DEFG是正方形，
∴BG=DG=GF=EF=FC=

2 2

3

，
∵由（1）（2）可得：

DM

BG

=

MN

GF

=

NE

FC

，
∴DM=MN=EN=

2 2

9

，
答：MN的长是

2 2

9

．

点评：本题综合考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定的应用，能熟练地运用相似三角形的性质和判定进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度．