Question

如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于D．求证：CD=AB+BD．

Answer 1

证明：如图，在DC上取DE=BD，
∵AD⊥BC，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
在△ACE中，∠AEB=∠C+∠CAE，
又∵∠B=2∠C，
∴2∠C=∠C+∠CAE，
∴∠C=∠CAE，
∴AE=CE，
∴CD=CE+DE=AB+BD．
分析：在DC上取DE=BD，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=AE，根据等边对等角的性质可得∠B=∠AEB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C=∠CAE，再根据等角对等边的性质求出AE=CE，然后即可得证．
点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．