Question

2．德国著名数学家高斯在上小学时，有一次老师让同学计算“从1到100这100个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设S=1+2+3+…+100，①
则S=100+99+98+…+1．②
①+②，得
2S=101+101+101+…+101．
所以2S=100×101，
S=$\frac{1}{2}$×100×101=50×101=5050
所以1+2+3+…+100=5050．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
阅读上面扥文字，解答下面的问题：
（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+200．
（2）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+n．
（3）请你利用（2）中的结论计算：1+2+3+…+2000．

Answer 1

分析 （1）通过观察可知，题目中的加数构成一个公差为1的等差数列，则本题根据高斯求和的有关公式计算即可；
（2）根据等差数列和=（首项+末项）×项数÷2，即可解答；
（3）根据（2）中的规律，即可解答．

解答 解：（1）1+2+3+4+5+…+200
=（1+200）×200÷2
=201×200÷2
=20100．
（2）1+2+3+…+n
=（1+n）•n÷2
=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（3）1+2+3+…+2000
=$\frac{2000×（2000+1）}{2}$=2001000．

点评 本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是明确等差数列和=（首项+末项）×项数÷2．